Trucos sobre cuadrados perfectos, cubos y unas dudas.

Hoy os voy a contar porque antes molaba. En 6º de EGB en clase de matemáticas nos enseñaron la tabla de cuadrados del 1 al 10 ya sabéis 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49 …, si nos la hacían memorizar, que rollo madre mía, pero mirando los resultados medí cuenta que había algo raro. Cuando salí al recreo ese día, con la mosca detrás de la oreja, ¿que tenían esos resultados que me estaban volviendo loco? ¿Que relación hay entre ellos? Antes de volver a clase ya tenía la respuesta. El cuadrado de un numero era igual al cuadrado anterior más el doble del numero anterior mas uno. Subí a clase para comprobar que ese resultado era correcto, no se que clase tocaba, por aquel entonces toda clase que no fuera matemáticas no me gustaba, delante de mi cuaderno de cuadros, me pues hacer las cuentas y si estaba en lo cierto, ya no me tenía que memorizar nada, sólo con una multiplicación por dos y sumando uno ya podía calcular los cuadrados de mas de diez sin ningún problema. Repase los resultados muchas veces, perdí al menos una clase mirando ese cuaderno de cuadrados, las operaciones eran correctas pero había algo mas oculto, ¿Que era lo que se me estaba escapando?. ¿Que había oculto en ese cuaderno de cuadraditos?. Riiiiiiing, Riiiiing, Tocó la campana a casa a comer, si chavales de primaría teníamos colegio por la mañana y por la tarde. Llegué a casa mirando ese cuaderno de cuadros, no lo veía y me empece a cansar, fue todo un esfuerzo para mí, en ese cuaderno había un misterio y no era capaz de saber que era, y decidí descansar, empecé hacer dibujos en ese misterios cuaderno, de repente, sin saber muy bien el porque, empece hacer cuadrados aprovechando la cuadricula del cuaderno, y de repente lo vi, resolví el misterio, si pintaba sólo una cuadricula había 4 puntos, si pintaba un cuadrado 2 x 2 cuadriculas había 9 puntos y así sucesivamente. demostración Cuadrados Si ya no sólo tenía un método para sacar los cuadrados sin multiplicar de cabeza, ahora también podía contar puntitos. Y después dicen que las matemáticas son aburridas. No estaba mal para alguien que aún no sabía que era un polinomio, ni sabía resolver una ecuación de primer grado, veis antes molaba, que me ha pasado para convertirme en lo que soy, prometía eh! Al día siguiente, lo intente sacar pero con el cubo y si funcionaba. No pongo la demostración porque no me sale muy bien y no queda claro. Os quiero plantear 2 dudas

  1. ¿Por qué funciona el truco de los puntos?
  2. ¿Este mismo truco funcionaría para dimensiones mas alta de 3?

Muchas Gracias.

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